积分中值定理的定理内容
积分中值定理：f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f(c)，其中c满足a<c<b。
如果函数f(x)在积分区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立
其中(a≤ξ≤b)。
扩展资料：
中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
参考资料：
百度百科-中值定理
推广的积分中值定理是什么？
积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
积分第一中值定理：若f在[a，b]上连续，则至少存在一点c属于[a，b]，使得在[a，b]上的积分值等于f(c)(b-a)。
推广：若f与g都在[a，b]上连续，且g在[a，b]上不变号，则至少存在一点c属于[a，b]，使得f乘以g在[a，b]上的积分等于f(c)乘以g在[a，b]上的积分。
积分第二中值定理：设函数f在[a，b]上可积，若函数g在[a，b]上递减，且g大于等于0，则存在一点c属于[a，b]，使得(f乘以g)在[a，b]上的积分等于g(a)乘以（f在[a，c]上的积分）。
求积分中值定理的证明
这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a，b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a，b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt
= Φ(x) + ∫f(t)dt
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m<=μ0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x，x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得
f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε
由于t属于[x，x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x，x+Δx]时恒成立，因此得到
f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε
由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到
f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε
即|μ-f(x)|<=ε
由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，
Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)
命题得证。
由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到
Φ(x)=F(x)+C
当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时
Φ(a)=0=F(a)+C
即C=-F(a)
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx，得到
Φ(b)=∫f(x)dx = F(b)-F(a)
至此命题得证。
你可以查一下参考书 那里更加详细望采纳 谢谢 有任何不懂 请加好友 一一解答
积分中值定理的几何意义是什么？
意义就是：区间[a，b]上定义的被积函数y=f(x)的图像与Ox轴以及x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积等于直线y=f(x_0)，Ox轴以及x=a和x=b所围成的矩形的面积。
